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足首から先を省略し、股関節と重心の違いも無視する近似を採用する。
また、脚の膝から上の長さと膝から下の長さは両方ともLだ、という風に近似する。
すると、図より
2L sin(θ/2) sinφ＝h
一方、昨日の記事に書かれている事から、
F(θ)sinφ＝W
ここまでを組み合わせると、
2L sin(θ/2) W/F(θ)＝h
∴F(θ)＝(2L/h)W sin(θ/2)
この関数のグラフと、脚力の最大値のグラフを、以下に重ねて描く。
人によっては F(0)の最大値≧W な人も居る。
グラフの交点のθ座標をΘ(h)とする。
交点が存在しない場合は便宜上、
Θ(h) ＞ π
と考える事にする。
d[2L sin(θ/2)]＝L cos(θ/2) dθ
脚が重心にする仕事は
∫ab F(θ)L cos(θ/2) dθ
＝ (2L2/h)W∫ab dθsin(θ/2)cos(θ/2)
＝ (L2/h)W∫ab dθsinθ
＝ (L2/h)W[cos(a) - cos(b)]
ただし、
a ≧ (φ＝π/2の時のθの値) ＝ 2 sin-1[h/(2L)]
b ＝ [Θ(h)とπのうちの小さい方]
脚が重心にした仕事が加速終了時の重心の運動エネルギーに等しいから、
(1/2)(W/g)(加速終了時の重心の速さ)2 ＝ (L2/h)W[cos(a) - cos(b)]
∴(加速終了時の重心の速さ) ＝ √{2(L2/h)g[cos(a) - cos(b)]} ＝ √{(2L/h)[L cos(a) - L cos(b)]g}
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