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昨日は、途中まで書いた所で、DMM.R18の閲覧を始めてしまい、結論が出せませんでした。
DMM.R18の閲覧後、最後の1行を書き添えてやめました。
その後、パソコンから離れた所で過ごしている時に、色々と気付きながら、パソコンの前で粘っても無理だったな、と思った。
まず、πi(f)をfで0から∞まで積分すると発散する件について、売り上げは0からfiまでのいずれかの値だから、1に成るべきは0からfiまでの積分結果だから、0から∞までの積分結果が1に成らない事は全く問題ではない、という事に気付いた。
1＝∫0fi df πi(f)
それにしても、πi(f)＝cLi/f なのでは、今度は f = 0 近傍で発散が生じてしまうので、2014年08月12日の記事のアプローチは、そのままでは上手く行かない。
売れ残りを自分で消費するから本当はπi(f)＜cLi/fなのだろう、という考えは間違いだった。
売れ残りは捨ててしまう、という前提での取引も可能であり、競馬に相当するのは、これだろう。
そういう意味で、そういう取引も研究に値する。
売れ残りを捨ててしまうのか自分で消費するのかによって、出来るだけ負担指数の小さい益を売ろうとする意志の強さが変化し、それによってπの関数形が変わる、のだろうと思う。
さて、売れ残りを自分で消費する場合について、売れ残りを自分で消費してもなお残ってしまう益の分だけ自給自足の場合よりも生産に要する負担が増える、という想定に基づいて、πを求める事を試みる。
実質上の売り上げという物を定義する。
これは、fi≦f0iなるiについては、売れ残り量＋売上金＝fi
fi＞f0iなるiに対しては、売れ残り＞f0iなら f0i + 売上金
売れ残り≦f0iならば売れ残り量＋売上金＝fi
つまり、実質上の売り上げ≡売上金＋売れ残り中の消費できる量
すると、実質上の売り上げの期待値は、
Σi∈- fi + Σi∈+[∫0fi-f0i df (f + f0i)πi(f) + ∫fi-f0ifi df fiπi(f)]
＝ Σi∈- fi + Σi∈+[∫0fi-f0i df (f + f0i - fi)πi(f) + ∫0fi df fiπi(f)]
＝ Σi fi + Σi∈+∫0fi-f0i df (f + f0i - fi)πi(f)
＝ Σi fi - Σi∈+∫0fi-f0i df [(fi - f0i) - f]πi(f)
＝ (生産量の合計) - (売れ残り中の消費できない益の量の期待値の合計)
ただし i∈- とは fi≦f0i の事であり、i∈+ とは fi＞f0i の事だ、とする。
自給自足の場合の生産量の合計はΣi f0i だから、自給自足の場合と取引窓利用の場合で消費量が同じ、という条件は、
Σi f0i ＝ Σi fi - Σi∈+∫0fi-f0i df [(fi - f0i) - f]πi(f)
という風に表される。
∴Σi fi - Σi f0i ＝ Σi∈+∫0fi-f0i df [(fi - f0i) - f]πi(f)
∴Σi∈- (fi - f0i) + Σi∈+ (fi - f0i)[1 - ∫0fi-f0i df πi(f)] + Σi∈+∫0fi-f0i df fπi(f) ＝ 0
∴Σi∈- (f0i - fi) ＝ Σi∈+ (fi - f0i)[1 -∫0fi-f0i df πi(f)] + Σi∈+∫0fi-f0i df fπi(f)
∴Σi∈- (f0i - fi) ＝ Σi∈+ (fi - f0i)∫fi-f0ifi df πi(f) + Σi∈+∫0fi-f0i df fπi(f) ・・・※
左辺は、買う必要が有る益量の合計を表している。
右辺第1項は、Σi∈+ (αiの生産量の自給自足を超過した分)×(αiの売れ残りを自分で全部消費できる確率) だ。
右辺第2項は、Σi∈+ (αiの売れ残りを自分で全部は消費できない場合のαiの売り上げ金の期待値) だ。
i∈+なるαiの売れ残り中の消費できない量の期待値は、
∫0fi-f0i df (fi - f0i - f)πi(f)
だから、これによる負担の合計の増加の期待値は、
Σi∈+ Li∫0fi-f0i df (fi - f0i - f)πi(f)
これが自給自足の場合と取引窓を利用した場合の負担の合計の差だとすると、
Σi Lif0i + Σi∈+ Li∫0fi-f0i df (fi - f0i - f)πi(f) = Σi Lifi
∴Σi∈- Li (f0i - fi)＝Σi∈+ Li (fi - f0i)[1 - ∫0fi-f0i df πi(f)] + Σi∈+ Li∫0fi-f0i df fπi(f)
∴Σi∈- Li (f0i - fi)＝Σi∈+ Li (fi - f0i)∫fi-f0ifi df πi(f) + Σi∈+ Li∫0fi-f0i df fπi(f) ・・・※※
この条件を成り立たせる様にπの関数形を決めると、※が成り立つ事を示せる、と期待する。
※※は、※の各項にLiを掛けて得られる式に成っている。
πの関数形の選び方にかかわらず※と※※は両立不可能な感じがする。
Σi Lif0i = Σi Lifi ⇒ Σi∈- (f0i - fi) ＞ Σi∈+ (fi - f0i)∫fi-f0ifi df πi(f) + Σi∈+∫0fi-f0i df fπi(f)
を示せるのでも良いのだが。
宇田経済学＠持論＠学問
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