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ほっほっほっほっほ！
πi(f) ＝ cif-1+εとして計算した後でε→+0とする、という方法を思い付いたぞよ。
∫0fi df πi(f) ＝ (ci/ε)fiε
これが1に成るのは
ci = ε/fiε
である場合なので、そう置く。
売り上げの合計の期待値は、
Σi ∫0fi df fπi(f)
= Σi ∫0fi df cifε
= Σi [ci/(1+ε)]fi1+ε
= Σi[ε/(1+ε)]fi
いかん！これでは、ε→+0 で売り上げの期待値が0に成ってしまう。
それに、 πi(f)がLi に比例していないぞ。
じゃあ、εを有限のままにして、Liに比例するとしたら、どうだろうか。
πi(f) ＝ cif-1+εLi
ci = εLi/fiεLi
売り上げの合計の期待値 = Σi[εLi/(1+εLi)]fi = Σi Li[ε/(1+εLi)]fi ＜ εΣi Lifi
だから、自給自足の場合と負担の合計を同じにすると、
Σi Lif0i = Σi Lifi
売り上げの合計の期待値 ＜ εΣi Lif0i ＜ Σi f0i ∵εLi ＜ 1
つまり、売り上げの合計の期待値は自給自足の場合の生産量の合計よりも小さく成る。
従って、売り上げの合計の期待値を自給自足の場合の生産量の合計に等しくするためには、負担の合計の期待値は自給自足の場合の負担の合計よりも大きく成る。
売れ残り分の生産に要した負担が加算されるためだ、と思われる。
もっとも、πi(f) ＝ cif-1+εLi という置き方に必然性が無いけどね。
f > 1ではLiが小さいiほどπi(f)が小さい、という特徴は表現できてる。
f < 1では逆に成ってしまってる所は欠点だなあ。
πi(f) ＝ ci(f/f0i)-1+εLi とする必要が有るのかなあ。
こうしても、f < f0iではLiが小さいiほどπi(f)が大きい、というのは現実とは逆ではないか。
じゃあ、
πi(f) ＝ ci(f/f0i)-εLi (f < f0i)
πi(f) ＝ ci(f/f0i)-1+εLi (f > f0i)
としたら良いのではないか。
∫0fi df πi(f) ＝ ∫0f0i df πi(f) + ∫f0ifi df πi(f)
= f0i∫01 dx πi(xf0i) + f0i∫1fi/f0i dx πi(xf0i) (x = f/f0i)
= f0i∫01 dx cix-εLi + f0i∫1fi/f0i dx cix-1+εLi
= f0ici/(1-εLi) + f0i[ci/(εLi)][(fi/f0i)εLi - 1]
= cif0i{1/(1-εLi) + [(fi/f0i)εLi - 1]/(εLi)}
= cif0i{εLi + (1-εLi)[(fi/f0i)εLi - 1]}/[(1-εLi)(εLi)]
= cif0i[2εLi + (1-εLi)(fi/f0i)εLi - 1]/[(1-εLi)(εLi)]
これが1に等しく成る為には、
ci = [(1-εLi)(εLi)]/{f0i[2εLi + (1-εLi)(fi/f0i)εLi - 1]}
売り上げの合計の期待値は、
Σi∫0fi df fπi(f) ＝ ∫0f0i df fπi(f) + ∫f0ifi df fπi(f)
= Σi (f0i)2∫01 dx xπi(xf0i) + (f0i)2∫1fi/f0i dx xπi(xf0i)
= Σi (f0i)2∫01 dx cix1-εLi + (f0i)2∫1fi/f0i dx cixεLi
= Σi (f0i)2ci/(2-εLi) + (f0i)2[ci/(1+εLi)][(fi/f0i)1+εLi - 1]
= Σi (f0i)2ci{1/(2-εLi) + [1/(1+εLi)][(fi/f0i)1+εLi - 1]}
= Σi (f0i)2ci{(1+εLi) + (2-εLi)[(fi/f0i)1+εLi - 1]}/[(2-εLi)(1+εLi)]
= Σi (f0i)2ci[2εLi - 1 + (2-εLi)(fi/f0i)1+εLi]/[(2-εLi)(1+εLi)]
= Σi f0i{(1-εLi)(εLi)/[(2-εLi)(1+εLi)]}[2εLi - 1 + (1-εLi)(fi/f0i)εLi][2εLi - 1 + (2-εLi)(fi/f0i)1+εLi]
＜ Σi f0iεLi[1 +(fi/f0i)εLi][1 + 2(fi/f0i)1+εLi]
これがεΣiLifi よりも小さく成る事は示せそうにない。
だから、 πi(f) ＝ ci(f/f0i)-εLi (f < f0i), πi(f) ＝ ci(f/f0i)-1+εLi (f > f0i)という置き方も間違っているみたいだ。
完璧な答は得られなかったが、このぐらいにしておく。
結局、定量的にはハッキリした事は言えないが、定性的には、いずれにせよ、負担率の個人差が活用されなければ取引窓を利用すると自給自足の場合よりも負担が増える、という事が言えそうだ。
オークション介入による潜在的納得能の散逸にしてもそうだが、自由市場方式は、本質的に散逸の問題を抱えている様だ。
宇田経済学＠持論＠学問
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